صياغة عنصر محدد دقيق للتحليل الساكن لانحناء عوارض تيموشينكو اعتمادًا على الحلول التحليلية للجزء المتجانس

المؤلفون

  • محمد الحجاجي شعبة الميكانيكا التطبيقية، قسم الهندسة الميكانيكية والصناعية، كلية الهندسة، جامعة طرابلس، ليبيا المؤلف
  • حسن المهدي النجّار شعبة الميكانيكا التطبيقية، قسم الهندسة الميكانيكية والصناعية، كلية الهندسة، جامعة طرابلس، ليبيا المؤلف

DOI:

https://doi.org/10.66411/jer.v41i2.457

الكلمات المفتاحية:

كمرة تيموشينكو، العناصر المحددة الدقيقة، الحل التحليلي المتجانس، دوال التشكيل الدقيقة، الانحناء الساكن، التشوه بالقص

الملخص

تم تطوير صياغة دقيقة لطريقة العناصر المحددة من أجل التحليل الساكن للانحناء في كمرات تيموشينكو القابلة للتشوه بالقص، والمعرضة لأحمال عرضية موزعة وعزوم انحناء. تم اشتقاق المعادلات التفاضلية الحاكمة المزدوجة باستخدام مبدأ أقل طاقة وضع، ثم استُخدمت حلولها التحليلية المتجانسة لبناء دوال التشكيل التي تحقق المعادلات الحاكمة بشكل تام داخل مجال العنصر. ويسهم ذلك في إزالة أخطاء التقريب الناتجة عن الاستيفاء داخل كل عنصر، ويوفر دقة محسّنة ومعدل تقارب أفضل مقارنة بعناصر الكمرات التقليدية المعتمدة على الدوال متعددة الحدود.  تمت صياغة عنصر كمرة مكوّن من عقدتين وأربع درجات حرية، كما تم اشتقاق صيغ مغلقة لمصفوفة صلابة العنصر ومتجه الأحمال المتسقة مباشرةً من دوال التشكيل الدقيقة. وقد تم التحقق من كفاءة الصياغة المقترحة من خلال مسائل معيارية تشمل الكمرات الكابولي، والكمرات بسيطة الارتكاز، والكمرات المثبتة–المفصلية، والمثبتة–الدوارة، والمثبتة من الطرفين. أظهرت النتائج العددية توافقًا ممتازًا مع الحلول التحليلية، وتنبؤات نظرية أويلر–برنولي، ونماذج العناصر المحددة عالية الدقة باستخدام برنامجAbaqus ، مع الحاجة إلى عدد أقل بكثير من درجات الحرية.

توفر الصياغة المقترحة عنصرًا دقيقًا وفعالًا من الناحية الحسابية للتحليل الساكن للكمرات السميكة والمتوسطة السماكة وفق نظرية تيموشينكو، كما تمثل أساسًا مناسبًا للتوسعات المستقبلية لتشمل مسائل التحليل الديناميكي، والاستقرار، والتحليل الحراري المرن.

121 39

المراجع

[1] G. R. Cowper, "The shear coefficient in Timoshenko's beam theory," Journal of Applied Mechanics, vol. 33, no. 2, pp. 335–340, 1966. doi: 10.1115/1.3625046. DOI: https://doi.org/10.1115/1.3625046

[2] S. P. Timoshenko and J. N. Goodier, Theory of Elasticity, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, 1970. DOI: https://doi.org/10.1115/1.3408648

[3] J. N. Reddy, Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis. Boca Raton: CRC Press, 1997.

[4] J. R. Vinson and R. L. Sierakowski, The Behavior of Structures Composed of Composite Materials, 2nd ed. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. DOI: https://doi.org/10.1007/0-306-48414-5

[5] E. Carrera, G. Giunta, and M. Petrolo, Beam Structures: Classical and Advanced Theories. Chichester: John Wiley & Sons, 2011. doi: 10.1002/9781119978565. DOI: https://doi.org/10.1002/9781119978565

[6] O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor, The Finite Element Method, 5th ed. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000.

[7] K. J. Bathe, Finite Element Procedures. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1996.

[8] T. J. R. Hughes, The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1987.

[9] G. Prathap and G. Bhashyam, "Reduced integration and the shear-flexible beam element," International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 18, no. 2, pp. 195–210, 1982. doi: 10.1002/nme.1620180204. DOI: https://doi.org/10.1002/nme.1620180205

[10] T. Belytschko, W. K. Liu, and B. Moran, Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures. Chichester: John Wiley & Sons, 2000.

[11] J. C. Simo and M. S. Rifai, "A class of mixed assumed strain methods and the method of incompatible modes," International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 29, no. 8, pp. 1595–1638, 1990. doi: 10.1002/nme.1620290802. DOI: https://doi.org/10.1002/nme.1620290802

[12] J. N. Reddy, An Introduction to the Finite Element Method, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1993.

[13] F. Auricchio and R. L. Taylor, "A shear-deformable beam element with a consistent formulation," International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 38, no. 20, pp. 3397–3412, 1995. doi: 10.1002/nme.1620382003. DOI: https://doi.org/10.1002/nme.1620382003

[14] K. Y. Sze and A. Ghali, "A hybrid beam element for non-linear analysis of Timoshenko beams," Computers and Structures, vol. 47, no. 6, pp. 929–939, 1993. doi: 10.1016/0045-7949(93)90001-P.

[15] M. Eisenberger, "Derivation of shape functions for an exact 4-D.O.F. Timoshenko beam element," Communications in Applied Numerical Methods, vol. 6, no. 4, pp. 281–287, 1990. doi: 10.1002/cnm.1630060406. DOI: https://doi.org/10.1002/cnm.1630060406

[16] M. Eisenberger, "Dynamic stiffness matrix for Timoshenko beams," Journal of Sound and Vibration, vol. 146, no. 3, pp. 511–519, 1991. doi: 10.1016/0022-460X(91)90629-X. DOI: https://doi.org/10.1016/0022-460X(91)90629-X

[17] J. Lee and W. W. Schultz, "Eigenvalue analysis of Timoshenko beams and axisymmetric Mindlin plates by the exact element method," Journal of Sound and Vibration, vol. 275, no. 1–2, pp. 171–193, 2004. doi: 10.1016/S0022-460X(03)00832-2.

[18] J. S. Archer, "A displacement method of analysis for three-dimensional structures," Journal of the Structural Division, ASCE, vol. 91, no. ST4, pp. 161–180, 1965.

[19] R. Davis, R. D. Henshell, and G. B. Warburton, "A Timoshenko beam element," Journal of Sound and Vibration, vol. 22, no. 4, pp. 475–487, 1972. doi: 10.1016/0022-460X(72)90035-5. DOI: https://doi.org/10.1016/0022-460X(72)90457-9

[20] D. Thomas, B. A. Abbas, and co-workers, "Timoshenko beam finite elements," Journal of Sound and Vibration, vol. 31, no. 3, pp. 315–330, 1973. doi: 10.1016/S0022-460X(73)80276-7. DOI: https://doi.org/10.1016/S0022-460X(73)80276-7

[21] Z. Friedman and J. B. Kosmatka, "An improved two-node finite element for the analysis of thick and thin beams," Computers and Structures, vol. 47, no. 3, pp. 473–481, 1993. doi: 10.1016/0045-7949(93)90032-7. DOI: https://doi.org/10.1016/0045-7949(93)90243-7

[22] M. Levinson, "A new rectangular beam theory," Journal of Sound and Vibration, vol. 74, no. 1, pp. 81–87, 1981. doi: 10.1016/0022-460X(81)90493-4. DOI: https://doi.org/10.1016/0022-460X(81)90493-4

[23] J. N. Reddy, "A simple higher-order theory for laminated composite plates," Journal of Applied Mechanics, vol. 51, no. 4, pp. 745–752, 1984. doi: 10.1115/1.3167719. DOI: https://doi.org/10.1115/1.3167719

[24] A. Bazoune and Y. A. Khulief, "An exact finite beam element for static and dynamic analysis of Timoshenko beams," Journal of Sound and Vibration, vol. 255, no. 4, pp. 721–733, 2002. doi: 10.1006/jsvi.2001.4187. DOI: https://doi.org/10.1006/jsvi.2001.4187

[25] I. D. Edem, "An exact dynamic finite element for Timoshenko beams," Journal of Sound and Vibration, vol. 292, no. 3–5, pp. 986–1005, 2006. doi: 10.1016/j.jsv.2006.01.015. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jsv.2006.01.015

[26] T. T. Huong and B. S. Gan, "Development of consistent shape functions for linearly tapered Timoshenko beam elements," AIJ Journal of Structural and Construction Engineering, vol. 80, no. 713, pp. 1103–1111, 2015. doi: 10.3130/aijs.80.1103. DOI: https://doi.org/10.3130/aijs.80.1103

[27] A. T. Karttunen, J. Romanoff, and J. N. Reddy, "Exact microstructure-dependent Timoshenko beam element," Composite Structures, vol. 135, pp. 15–25, 2016. doi: 10.1016/j.compstruct.2015.09.024. DOI: https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2015.09.024

[28] I. Katili et al., "Static and free vibration analysis of FGM beam based on unified and integrated Timoshenko beam theory," Composite Structures, vol. 242, p. 112130, 2020. doi: 10.1016/j.compstruct.2020.112130. DOI: https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2020.112130

[29] M. Amir et al., "A consistent Timoshenko beam finite element model," International Journal of Non-Linear Mechanics, vol. 119, p. 103218, 2020. doi: 10.1016/j.ijnonlinmec.2019.07.003. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2019.07.003

[30] T. K. Nguyen and T. P. Vo, "A unified finite element formulation for Timoshenko beams with arbitrary cross-sections," Engineering Structures, vol. 250, p. 113458, 2022. doi: 10.1016/j.engstruct.2021.113458. DOI: https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2021.113458

[31] A. N. Le, "Isogeometric analysis of shear-deformable beams with exact shape functions," Computers and Structures, vol. 278, p. 106940, 2023. doi: 10.1016/j.compstruc.2023.106940.

[32] M. A. Mohamedien, O. El Gendy, and E. Sallam, "Geometrically nonlinear transient analysis of Timoshenko tapered beam-column element using a finite element formulation based on the exact shape functions," Mechanics Based Design of Structures and Machines, vol. 52, no. 5, pp. 2956–2983, 2024. doi: 10.1080/15397734.2023.2194381. DOI: https://doi.org/10.1080/15397734.2023.2194381

[33] Z. W. Song et al., "New finite-difference-based discrete models for Euler and Timoshenko beam problems," Engineering Structures, vol. 353, p. 122063, 2026. doi: 10.1016/j.engstruct.2025.122063. DOI: https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2025.122063

التنزيلات

منشور

26-08-2026

إصدار

القسم

المقالات

كيفية الاقتباس

[1]
الحجاجي محمد و حسن المهدي النجّار, "صياغة عنصر محدد دقيق للتحليل الساكن لانحناء عوارض تيموشينكو اعتمادًا على الحلول التحليلية للجزء المتجانس", JER, م 41, عدد 2, ص 87–110, أغسطس 2026, doi: 10.66411/jer.v41i2.457.